GRE數(shù)學(xué)考試排列組合問(wèn)題解析

1.排列(permutation):

      從N個(gè)東東(有區(qū)別)中不重復(fù)(即取完后不再取)取出M個(gè)并作排列,共有幾種方法：P(M,N)=N!/(N-M)!

例如:從1-5中取出3個(gè)數(shù)不重復(fù),問(wèn)能組成幾個(gè)三位數(shù)?

      解答：P(3,5)=5!/(5-3)!=5!/2!=5*4*3*2*1/(2*1)=5*4*3=60

      也可以這樣想從五個(gè)數(shù)中取出三個(gè)放三個(gè)固定位置。

      那么第一個(gè)位置可以放五個(gè)數(shù)中任一一個(gè),所以有5種可能選法，那么第二個(gè)位置余下四個(gè)數(shù)中任一個(gè),....4.....，那么第三個(gè)位置……3……所以總共的排列為5*4*3=60。

      同理可知如果可以重復(fù)選(即取完后可再取),總共的排列是5*5*5=125。

2.組合(combination):

      從N個(gè)東東(可以無(wú)區(qū)別)中不重復(fù)(即取完后不再取)取出M個(gè)(不作排列,即不管取得次序先后),共有幾種方法？

      C(M,N)=P(M,N)/P(M,M)=N!/(M-N)!/M!

      C(3,5)=P(3,5)/P(3,3)=5!/2!/3!=5*4*3/(1*2*3)=10

      可以這樣理解：組合與排列的區(qū)別就在于取出的M個(gè)作不作排列-即M的全排列P(M,M)=M!，

      那末他們之間關(guān)系就有先做組合再作M的全排列就得到了排列，所以C(M,N)*P(M,M)=P(M,N),由此可得組合公式。

      性質(zhì):C(M,N)=C( (N-M), N )

       即C(3,5)=C( (5-2), 5 )=C(2,5) = 5!/3!/2!=10

3.概率

      概率的定義：P=滿足某個(gè)條件的所有可能情況數(shù)量/所有可能情況數(shù)量

概率的性質(zhì) ：0<=P<=1

1)不相容事件的概率：

      a,b為兩兩不相容的事件(即發(fā)生了a，就不會(huì)發(fā)生b)

      P(a或b)=P(a)+P(b)

      P(a且b)=P(a)+P(b)=0 (A,B不能同時(shí)發(fā)生)

2)對(duì)立事件的概率:

      對(duì)立事件就是a+b就是全部情況,所以不是發(fā)生a,就是b發(fā)生,但是,有一點(diǎn)a,b不能同時(shí)發(fā)生.例如:

a:一件事不發(fā)生

b:一件事發(fā)生,則A,B是對(duì)立事件

      顯然：P(一件事發(fā)生的概率或一件事不發(fā)生的概率)=1(必然事件的概率為1)

      則一件事發(fā)生的概率=1 - 一件事不發(fā)生的概率...........公式1

      理解抽象的概率最好用集合的概念來(lái)講，否則結(jié)合具體好理解寫(xiě)

      a,b不是不相容事件(也就是說(shuō)a,b有公共部分)分別用集合A和集合B來(lái)表示，即集合A與集合B有交集，表示為A*B (a發(fā)生且b發(fā)生)，集合A與集合B的并集，表示為A U B (a發(fā)生或b發(fā)生)，則:P(A U B)= P(A)+P(B)-P(A*B).................公式2

3)條件概率：

      考慮的是事件A已發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率

      定義：設(shè)A，B是兩個(gè)事件，且P(A)>0,稱P(B|A)=P(A*B)/P(A)....................公式3

      為事件A已發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率

      理解：就是P(A與B的交集)/P(A集合)

      理解: “事件A已發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率”，很明顯，說(shuō)這句話的時(shí)候，A，B都發(fā)生了，求的是A，B同時(shí)發(fā)生的情況占A發(fā)生時(shí)的比例，就是A與B同時(shí)發(fā)生與A發(fā)生的概率比。

4)獨(dú)立事件與概率

      兩個(gè)事件獨(dú)立也就是說(shuō)，A，B的發(fā)生與否互不影響，A是A，B是B，用公式表示就是P(A|B)=P(A)所以說(shuō)兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率就是：

      P(A U B)=P(A)×P(B)................公式4

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